Ôn thi vào lớp 10: Bốn cách chứng minh tứ giác trong Toán hình đơn giản, dễ nhớ

Chứng minh “Tứ giác nội tiếp” là dạng bài tập thông dụng, thường xuyên gặp ở các bài thi Toán vào lớp 10 THPT, thí sinh cần đặc biệt lưu ý.

Để giúp học sinh nắm chắc kiến thức và kỹ năng, thầy Nguyễn Quyết Thắng – giáo viên môn Toán tại Hệ thống Giáo dục HOCMAI hướng dẫn học sinh một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đơn giản, hiệu quả hơn, từ đó có thể dành trọn điểm ở phần này.

Chứng minh tứ giác nội tiếp là ta cần chứng minh 4 đỉnh của tứ giác nằm trên cùng một đường tròn. Dạng bài tập này sẽ có nhiều mức độ để thử thách các em học sinh từ trung bình đến giỏi.

Thầy Thắng chỉ ra 4 phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đơn giản, dễ nhớ:

Thầy Nguyễn Quyết Thắng – giáo viên môn Toán tại Hệ thống Giáo dục HOCMAI.

Phương pháp 1 , chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ. Phương pháp này được xuất phát từ chính định nghĩa của tứ giác nội tiếp (Một tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn).

Nội dung của phương pháp này như sau: “Nếu tứ giác ABCD có tổng hai góc đối bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp”. Hệ quả của nội dung này là: Nếu góc BAD = góc BCD = 90 độ thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BD. Nếu tổng hai góc kề bù EAD = BCD thì tứ giác ABCD nội tiếp

Phương pháp 2 , chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Ở phương pháp này, học sinh chú ý phải nhìn đúng hình đúng góc, nếu không sẽ bị tình trạng chứng minh sai nhưng kết quả đúng và ảnh hưởng tới những câu tiếp theo.

Cụ thể, khi đề bài cho tứ giác ABCD và chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A bằng góc C của tứ giác (góc A và góc C đối đỉnh) thì có thể kết luận tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Phương pháp 3, chứng minh hai đỉnh cùng kề một cạnh, cùng nhìn cạnh đó dưới hai góc bằng nhau và bằng 90 độ. Phương pháp này áp dụng khi đề bài cho tứ giác ABCD và những dữ kiện gợi ý tính được rằng DAC = DBC = 90 độ. Từ đó, học sinh có thể kết luận tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

Phương pháp 4 , chứng minh bốn đỉnh của một tứ giác cách đều một điểm xác định. Nếu đề bài cho trước một đường tròn tâm O có bán kính R thì bất kỳ điểm nào nằm trên đường tròn đều cách tâm một khoảng đúng bằng bán kính.

Theo thầy Thắng hướng dẫn, dựa vào tính chất này, học sinh có thể dễ dàng chứng minh một tứ giác nội tiếp một đường tròn.

Ví dụ: Cho một điểm O cố định và tứ giác ABCD. Nếu học sinh chứng minh được bốn điểm A, B, C, D cách đều điểm O với khoảng cách bằng R, tức OA = OB = OC = OD = R thì điểm O chính là tâm đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D. Hay nói cách khác, tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R.

Ngoài ra, thầy cũng đưa ra một số lưu ý khi làm bài chứng minh tứ giác nội tiếp. Nếu nhận thấy khả năng tứ giác đó rơi vào một trong các trường hợp đặc biệt (hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân), ta có thể chứng minh tứ giác đó là hình đặc biệt và kết luận tứ giác nội tiếp đường tròn. Vì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân đều nội tiếp đường tròn.

Bên cạnh đó, trong quá trình làm bài, học sinh nên vẽ hình rõ ràng, dễ nhìn và tránh vẽ hình tại một số trường hợp đặc biệt. Các kí hiệu góc, đoạn thẳng bằng nhau cần được đánh dấu rõ ràng.

Trong quá trình làm bài thi, học sinh nên bám vào giả thiết, kiến thức đã học để làm bài cho hiệu quả. Những yêu cầu của đề bài cũng có thể là hướng gợi ý để giải quyết bài toán. Và đặc biệt, không dùng những điều đang cần chứng minh để chứng minh lại chúng.