Đáp án bài toán hóc búa từ đề thi IJMO ở Campuchia

Rất ít bạn đọc đưa ra được đáp án chính xác là 8064 cho bài toán hóc búa từ đề thi IJMO.

Đề bài:

Một số nguyên dương đôi một khác nhau có tổng bằng 30. Hỏi tích của chúng lớn nhất bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Cái khó của bài toán này là ta không biết có bao nhiêu số và các số đôi một khác nhau. Ý tưởng cơ bản là ta điều chỉnh dần các bộ số để đạt đến bộ số tối ưu.

Rõ ràng trong bộ tối ưu không có số 1 nên ta bắt đầu từ bộ 2, 3, 4, 5, 6, 10. Bộ này chưa tối ưu vì ta có thể thay 6, 10 bằng 7, 9 và được bộ 2, 3, 4, 5, 7, 9. Nhưng bộ này cũng chưa tối ưu vì ta có thể thay 5, 9 bằng 6, 8, ta được bộ 2, 3, 4, 6, 7, 8. Đây chính là bộ số cần tìm và đáp số là 8064.

Ở trong các phép thay thế này ta sử dụng tính chất nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi chúng gần nhau nhất.

Trong kỳ thi IJMO, chỉ có hai loại câu hỏi là trắc nghiệm 5 phương án và điền đáp số, không cần giải thích, do đó chỉ cần tìm ra đáp số mà không cần giải thích. Tuy nhiên, ta có thể chứng minh chặt chẽ 8064 là số lớn nhất cần tìm, bằng cách chứng minh các tính chất của bộ số tối ưu.

Nếu ta xếp các số của bộ số tối ưu theo thứ tự tăng dần thì:

1 – Số hạng đầu tiên bằng 2 hoặc bằng 3;

2 – Các số thuộc bộ là các số liên tiếp, ngoại trừ tối đa một số (ví dụ trong bài toán của ta các số là 2, 3, 4, 6, 7, 8)

Ý tưởng chứng minh là dùng phép thay thế như ở trên và xin dành cho những bạn đọc quan tâm.

TS Trần Nam Dũng

Đại học Khoa học Tự nhiên (Đại học Quốc gia TP HCM)

Theo vnexpress.net